Exemple de monoizi

En fait, toutes les fonctions d`un ensemble en soi forment naturellement un monoïde par rapport à la composition de fonction. Construction de Grothendieck. Il peut aussi être considéré comme un magma avec l`associativité et l`identité. En d`autres termes, f (z) est la valeur absolue (ou le module) du nombre complexe z. Un homomorphisme injectif est laissé annulable: si f ∘ g = f ∘ h, {displaystyle fcirc g = fcirc h,} on a f (g (x)) = f (h (x)) {displaystyle f (g (x)) = f (h (x))} pour chaque x en C, la source commune de g et h. alternativement , l`associativité des opérations monoïdes garantit que l`opération peut être parallélisée en employant une somme de préfixe ou un algorithme similaire, afin d`utiliser efficacement plusieurs cœurs ou processeurs. Les éléments absorbants sont particulièrement intéressants pour les semi-groupes, en particulier le demi-groupe multiplicatif d`un Semiring. Si nous n`avons pas besoin de cette étape, l`ensemble Map/Reduce consiste à cartographier et réduire; les deux opérations sont parallélisables, le premier en raison de sa nature d`élément-sage, ce dernier en raison de l`associativité de la monoïde. Certains des résultats les plus importants dans l`étude des monoïdes sont le théorème de Krohn-Rhodes et le problème de hauteur d`étoile. Comme pour les monoïdes ce n`est pas toujours vrai, il est nécessaire de l`énoncer comme une exigence distincte. ID} _ {A}.

Toutefois, les deux définitions de l`épimorphisme sont équivalentes pour les ensembles, les espaces vectoriels, les groupes abéliens, les modules (voir ci-dessous pour une preuve) et les groupes. Compte tenu d`une variété de structures algébriques, un objet libre sur x est une paire constituée d`une structure algébrique L de cette variété et un élément x de L satisfaisant la propriété universelle suivante: pour chaque structure S de la variété, et chaque élément s de S , il existe un homomorphisme unique f: L → S {displaystyle f:Lto S} tel que f (x) = s. Dans la situation typique, la relation R est simplement donnée sous la forme d`un ensemble d`équations, de sorte que R = {u 1 = v 1, ⋯, u n = v n} {displaystyle R = {U_{1} = _ {1}, cdots, U_ {n} = VV{n} }}. Une unité d`ordre d`un monoïde commutatif M est un élément u de M tel que pour n`importe quel élément x de M, il existe un entier positif n tel que x ≤ nu. Tous les homomorphismes des semi-groupes ne sont pas un homomorphisme monoïde, car il ne peut pas mapper l`identité à l`identité du monoïde cible, même si l`élément qu`il mappe l`identité à sera une identité de l`image de la cartographie. Let h: B → C {displaystyle hcolon Bto C} être la carte zéro. Mais ensuite, par annulation, nous avons que XM − n = e où e est l`identité. La règle des pouvoirs xn + p = xn • XP est évidente.

Ainsi, cette construction donne une équivalence entre la catégorie des (petits) monoïdes mon et une sous-catégorie complète de la catégorie des (petites) catégories Cat. Toutefois, si le monoïde d`origine a un élément absorbant, son groupe Grothendieck est le groupe trivial. Un endomorphisme est un homomorphisme dont le domaine est égal au CODOMAINE, ou, plus généralement, un morphisme dont la source est égale à la cible. Let f: A → B {displaystyle fcolon Ato B} être un homomorphisme. Formellement, laisser (S, •) être un ensemble S avec une opération binaire fermée • sur elle (connu sous le nom de magma). Par exemple, il est parfaitement possible d`avoir un monoïde dans lequel deux éléments a et b existent de telle sorte qu`un • b = a détient même si b n`est pas l`élément d`identité. Tout homomorphisme f: X → Y définit une relation d`équivalence ~ sur X par un ~ b si et seulement si f (a) = f (b). Dans cet article, les deux notions sont synonymes.

Dans la théorie des modèles, la notion d`une structure algébrique est généralisée aux structures impliquant à la fois des opérations et des relations. C`est pourquoi l`inverse de x est généralement écrit x − 1. À partir de la définition d`un monoïde, on peut montrer que l`élément d`identité e est unique. Si y est l`inverse de x, on peut définir des puissances négatives de x en définissant x − 1 = y et x − n = y •.